SYZ mirror symmetry and Fukaya fibration

Strominger-Yau-Zaslow建议了用dual special Lagrangian fibration来理解mirror symmetry的方式。根据Duistermaat的结果，任何regular Lagrangian fibration都具有$TB/\Lambda$的形式，其中$B$是integral affine manifold，$\Lambda$是$TB$中的lattice，fiberwise来看就是传统意以下的lattice。此lattice可以用作integral affine structure的定义，也可以视为是由flat section生成的，因为我们知道任何integral affi……

Strominger-Yau-Zaslow建议了用dual special Lagrangian fibration来理解mirror symmetry的方式。根据Duistermaat的结果，任何regular Lagrangian fibration都具有$TB/\Lambda$的形式，其中$B$是integral affine manifold，$\Lambda$是$TB$中的lattice，fiberwise来看就是传统意以下的lattice。此lattice可以用作integral affine structure的定义，也可以视为是由flat section生成的，因为我们知道任何integral affine manifold上都有flat connection，这些flat connection通常不是metric compatible的。于是dual Lagrangian fibration就是$T^\ast B/\check{\Lambda}$。SYZ的appraoch可以很好地解释complex tori的mirror symmetry。

但是对于任何有趣的例子，我们都需要对上述Lagrangian fibration引进singular fiber。这是因为如果Lagrangian fibration是regular的，则得到的空间一定不是单连通的。单连通的条件对mirror
symmetry十分重要，不仅因为$K3$曲面和quintic 3-fold这些经典例子都是单连通的Calabi-Yau流形，而且因为这个条件保证了Bogmolov-Tian-Todorov定理成立，这保证了deformation of complex structure的模空间是光滑的，于是我们才可以定义mirror map。

因此自然产生的问题是如何正确引入singular fiber来构造Calabi-Yau mirror pair $X(B)$和$\check{X}(B)$，这导致底空间$B$上的singular integral affine structure。因此，构造分为两部分：首先要确定$B$上的discriminant locus，其次要在这些discriminant locus上竖起具有正确singularity的fiber。事实上，SYZ mirror symmetry propose在large complex structure limit附近，相应的fibration$\check{X}(B)\rightarrow B$是special Lagrangian的，所以实际上首先要topologically构造出相应的Calabi-Yau manifolds（这时得到相应的dual torus fibration），然后要构造出相应的辛结构和复结构，否则就无从谈论special Lagrangian。这里large complex structure limit是Hodge theoretical的概念，它的定义比较复杂，用到Hodge structure的degeneration。粗略地说，它标记复结构的最大退化。事实上，在A-side我们要考虑Kahler moduli space，它是Kahler cone的complexification，当Kahler structure退化的时候，volume变大，因此有类似的large volume limit。这种对应关系也是mirror symmetry的nature之一。

上述构造问题上最早的进展是Gross在99年的Topological mirror symmetry (http://www.douban.com/group/topic/37340754/) 中对quintic 3-fold的拓扑构造，这也是本书Gross的讲义中主要想介绍的内容。事实上，考虑$B^4\subset\mathbb{R}^4$的边界$\partial B^4$，它topologically是由一些正四面体构成的，这就是我们需要的singular integral affine manifold $B=S^3$。这些正四面体去掉dual triangulation构成的codimension 2 discriminant locus $\Delta$有一个integral affine structure。在$B_0=B-\Delta$上，fibration应该是regular的，所以fiber就是$T^3$，在$\Delta$上要区分generic singular fiber和在$\Delta$的singular points上出现的singular fiber，这些fiber只在codimension 3的地方出现，所以都是孤立的。事实上，它们是dual triangulation中出现的节点。Generic singular fiber只有一个collapsing cycle，所以Euler characteristic是0，而其他singular fiber则分别具有+1和-1的Euler示性数，分别被称为positive fiber和negative fiber。Positive fiber的描述比较简单，就是有一个collapsing $T^2$，而negative fiber比较复杂，它的singularity分布在一条nodal curve上。这就完成了对topological quintic 3-fold $X(B)$的构造，它是$X(B_0)\rightarrow B_0$的compactification。对于quintic mirror $\check{X}(B)$，只要对调上述$X(B)$中positive fiber和negative fiber就完成了compacitification。注意到尽管Gross的构造并不能在$X(B)$和$\check{X}(B)$上产生复结构和辛结构，但是此构造具体地反映了quitic 3-fold及其mirror在拓扑上的差别——即positive和negative fiber的对换，从而在SYZ program上迈出了第一步。

注意到上述构造的philosophy十分简单：对于同样的singular affine base，我们用不同的singular fiber去compactify，从而得到不同的Calabi-Yau流形。也正因为想法简单，此方向的进展并不多。不过基于Joyce对special Lagrangian的工作，实际上想要得到special Lagrangian fibration，我们应该允许在$B$上出现codimension 1的singularity。基于这个想法，实际上我们目前已经能够在$X(B)$和$\check{X}(B)$上构造出辛结构：http://www.douban.com/group/topic/37340699/ 。此时的discriminant locus是在原先的基础上在negative fiber的地方做thickening。$X(B)$上这样构造出的辛结构是否就是quintic 3-fold上的辛结构还有待证明。不过这样构造得到的辛结构和下面要介绍的Kontsevich-Soibelman的猜想从某种意义上说是矛盾的。

一个自然的问题是为什么选择和$S^3$同胚的$B$来进行构造。事实上，整个的构造纲领在Gross-Wilson的重要工作Large complex structure limits of $K3$ surfaces (http://www.douban.com/group/topic/38562421/) 中已经被阐述得非常清楚。他们的纲领有两部分：collapsing和reconstruction，此文的主要目的就是解释如何用Fukaya fibration来理解这两部分之间的自然联系。事实上，Kontsevich和Soibelman最先观察到Hodge theoretical的large complex structure limit和metric geometry中的Gromov-Hausdorff limit之间的联系。假如在large complex structrure limit附近考虑，则根据Yau对Calabi猜想的证明，在这一族Calabi-Yau流形${M_i}$上可以endow一族Ricci flat metric。根据Gromov的定理，这组Calabi-Yau流形在Gromov-Hausdorff distance下是precompact的，也就是说有收敛的子序列。Kontsevich和Soibelman的猜想是，假设这族Calabi-Yau流形是full holonomy的（即holonomy group都是$SU(n)$)，则能够找到一族子序列收敛到$B$，其中$B$和$S^n$同胚，并且去掉codimension 2的singular locus后，$B_0$上的Riemann度量就是$S^n$ induce的Riemann度量。因此，所谓的collpasing program就是要借助于Gromov-Hausdorff limit来visualize large complex structure limit，而所谓的reconstruction program是说，根据这个同胚于$S^n$的singular integral affine manifold $B$，我们可以构造出这一族Calabi-Yau流形及其mirror，一个典型的例子就是上述的Gross对quintic 3-fold及其mirror从topological $S^3$开始的构造。

事实上，上述collapsng的猜想不难通考虑elliptic curve这一最简单的情形来理解。假设有一族被$\mathbb{C}$ parametrize的elliptic curve，large complex structure limit在无穷远点，即complex structure是$\mathbb{Z}+i\alpha\mathbb{Z}$（注意elliptic curve的complex structure是被$\mathbb{C}$中的integral lattice决定的）。那么要保持这些elliptic curve的diameter不变，我们需要对度量作scaling $g_{\alpha}=g/\alpha^2$。显然，当$\alpha\rightarrow\infty$时，这族elliptic curve在Gromov-Hausdorff意义下收敛到$S^1$，因此我们对$n=1$验证了Kontsevich和Soibelman的猜想。Gross和Wilson的工作则对$n=2$的情形证明了此猜想。他们的证明是direct approach，也就是需要explicitly写下一族Ricci flat度量，注意这在一般情况下是做不到的：http://book.douban.com/review/5768238/ ，因为你当然不能explicitly写下Monge-Ampere方程的解。但是Gross和Wilson很好地利用了之前Ooguri和Vafa的工作中对$K3$ surface写下的一族度量。Ooguri-Vafa的度量实际上只是几乎Ricci平坦的，但是通过一些估计可以看出它对Ricci flat度量的逼近程度非常高，这导致借助于一些standard的估计，我们还是可以证明$K3$ surface在large complex structure limit collapse到$S^2$，这时的度量是带有24个奇异点的通常$S^2$上的Riemann度量。注意到generically，elliptic $K3$曲面的singular fiber就是24个nodal fiber，因此逼近large omplex structure limit的过程应该是${M_i}$的复结构$\omega_i^2$保持不变，而辛结构$\omega_i$退化的过程。这里$\omega_i$是$M_i$上的Kahler形式。通过所谓的hyperkahler rotation的技巧，不难看出这和保持辛结构不动，使复结构退化，即逼近large complex structure limit的过程是一致的。这种复结构和辛结构的对易关系也是mirror symmetry的特色所在。

我们来解释Fukaya fibration和reconstruction之间的联系，首先回顾Fukaya fibration的主要结果：http://www.douban.com/group/topic/36316271/ ，假设${M_i}$是一族sectional curvature一致有界的完备Riemann流形，并且在Gromov-Hausdorff的意义下collapse到光滑的Riemann流形$N$，则对于足够大的$i$我们有fibration $M_i\rightarrow N$，其中fiber是infranilmanifold。事实上，在之后的工作中，Cheeger-Fukaya-Gromov (http://www.douban.com/group/topic/39920498/) 在fiber的diameter是$\varepsilon$，而$\textrm{Vol}(M_i)=\varepsilon^k$，其中$k=\dim M_i-\dim N$的假设下改进了Fukaya之前的结果，得出了fiber是$T^n/\Gamma$，其中$\Gamma$是有限群。为了看清楚整体的picture，我们ignore $B$的singularity。那么对Kontsevich和Soilbelman的上述猜想使用Fukaya fibration就得到了$B$上的fibration $T^n/\Gamma\rightarrow M_i\rightarrow S^n$，这应该理解为所需要的reconstruction process。因此，SYZ program中的reconstruction应该理解为带有singular fiber的Fukaya fibration。不过仍有两点问题需要澄清：首先，有限群$\Gamma$是否是trivial group?其次，Fukaya fibration要求了sectional curvature是一致有界的，而我们目前只知道度量是Ricci平坦的。一般而言，一族Ricci平坦度量未必会使截面曲率一致有界。不过在$n=1$和$n=2$的情形，截面曲率的确是一致有界的。

尽管目前还只是猜测，但是上述图景依然值得考虑。事实上，Fukaya fibration显然是torus fibration的推广，并且此时也可以定义相应的duality。事实上，让我们局限在nilmanifold的情形，任何一个nilmanifold $N$是一个torus fibraton, over a torus fibration, over a torus fibation,…, over a torus。因此，$N$是一些嵌套的torus firbation，对其中的每一层torus fibration都可以谈论它的dual torus fibration，这样我们得到dual nilmanifold $N^\ast$的概念，进而就得到dual nilmanifold fibration的概念，这应该可以用来推广SYZ program中的dual torus fibration。实际情况下，某些regular fiber $N$应该考虑为几乎是一个nilmanifold：即对于这些regular fiber $N$，应该需要考虑它本身admit的fibration $N\rightarrow T^m$具有singular fiber的情况，甚至每一层torus fibration都应该有singular fiber，这些singular的regular fiber应该最多在codimension 1的地方出现。事实上，这时我们考虑的base $B$未必还是of middle dimension的，这可以用来解释某些Calabi-Yau 3-fold admit abelian surface fibration的现象（比如对singular quintic 3-fold $X_{\psi=1}$做crepant resolution得到的Calabi-Yau 3-fold），这样在A-side可以考虑对应的isotropic fibration，这其中应该也有相应的duality。并且当我们的base不是of middle dimension的时候，相应的reconstruction也可能变得更加灵活：即我们可以降低base的dimension来简化discriminant locus，也可以降低fiber的dimension来简化singular fiber的构造。最重要的是，作这些推广后不会影响Gross-Wilson文章中揭示的collapsing program和reconstruction program的大图景。此时我们可以考虑具有abelian surface fibration的Calabi-Yau 3-fold $X\rightarrow\mathbb{P}^1$在接近large complex structure limit时的表现，当然可以猜测它在合适的Riemannian metric下会collapse到$S^2$ with codimension 0 singularity，而相应的reconstruction process依然可以理解成一个singular Fukaya fibration。

最后，我们的想法提示了Kontsevich-Soibelman猜想的一个可能的modification，即在large complex structure limit附近不去考虑Ricci flat metric导致的collapsing，而应该考虑使sectional curvature一致有界的Riemann度量所诱导的collapsing。

一个比此书中更详细的SYZ mirror symmetry的介绍见Gross的文章：http://www.douban.com/group/topic/39917281/。

注：本文摘自https://www.douban.com/group/topic/40226521/