这个题刚开始看到的时候确实有点为难，这个显然跟取整函数有关，小数部分又比较难考虑.读者可以自己先想一想.
首先为了猜出答案，用mathematica计算了几个特殊的值(精度取4位小数)：
所以可以猜测$\lim_{n\to \infty} { (2+\sqrt{2})^n}=1$. 这个小数部分是递增的才是好玩的地方.
为了证明这个猜测，我们能用的大概只有二项式展开：
$$ (2+\sqrt{2})^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cdot 2^{n-k}\cdot(\sqrt{2})^k$$
可以发现，${(2+\sqrt{2})^n}$只跟$k$为奇数的项有关，因为$k$为偶数的项都是整数，不影响它的小数部分，所以我们不妨记$(2+\sqrt{2})^n=A_n+B_n\sqrt{2}$，其中$A_n$为所有$k$为偶数项的和，$B_n$为所有$k$为奇数项时$\sqrt{2}$的系数和，从而
$$ { (2+\sqrt{2})^n}={ B_n \sqrt{2}}$$
接下来我们就要考虑${ B_n \sqrt{2}}$，此时自然会考虑此问题的一个对偶式子$(2-\sqrt{2})^n=A_n-B_n\sqrt{2}$. 于是我们有
$$(2+\sqrt{2})^n+(2-\sqrt{2})^n=2A_n\in \mathbb{Z}$$
因为当$n\to \infty,(2-\sqrt{2})^n \to 0 $，所以上面的式子其实就告诉了我们当$n\to \infty$时，$(2+\sqrt{2})^n$的小数部分就是$1-(2-\sqrt{2})^n$，这其实就告诉我们$\lim_{n\to \infty} { (2+\sqrt{2})^n}=1$.
所以我们就证明了我们的猜测.
这个题本身确实不难，上面的过程体现了思考数学问题的方向和策略：大胆猜测，小心求证，按图索骥，步步为营.
以上是忙里偷闲写点小东西更新一下.
